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結構與算法(05):二叉樹與多叉樹

一、樹狀結構

1、數組與鏈表

數組結構

數組存儲是通過下標方式訪問元素,查詢速度快,如果數組元素是有序的,還可使用二分查找提高檢索速度;如果添加新元素可能會導致多個下標移動,效率較低;

鏈表結構

鏈表存儲元素,對於元素添加和刪除效率高,但是遍歷元素每次都需要從頭結點開始,效率特別低;

樹形結構能同時相對提高數據存儲和讀取的效率。

2、樹結構概念

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  • 根節點:樹的根源,沒有父節點的節點,如上圖A節點;
  • 兄弟節點:擁有同一父節點的子節點。如圖B與C點;
  • 葉子節點:沒有子節點的節點。如圖DEFG節點;
  • 樹的高度:最大層數,如圖為3層;
  • 路徑:從root根節點找到指定節點的路線;

樹形結構是一層次的嵌套結構。一個樹形結構的外層和內層有相似的結構,所以這種結構多可以遞歸的表示。經典數據結構中的各種樹狀圖是一種典型的樹形結構:一顆樹可以簡單的表示為根, 左子樹, 右子樹。 左子樹和右子樹又有自己的子樹。

二、二叉樹模型

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樹的種類有很多,二叉樹(BinaryTree)是樹形結構的一個重要類型,每個節點最多只能有兩個子節點的一種形式稱為二叉樹,二叉樹的子節點分為左節點和右節點,許多實際問題抽象出來的數據結構往往是二叉樹形式。

完全二叉樹

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二叉樹的所有葉子節點都在最後一層或者倒數第二層,而且最後一層的葉子節點在左邊連續,倒數第二 層的葉子節點在右邊連續,我們稱為完全二叉樹

滿二叉樹

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當二叉樹的所有葉子節點都在最後一層,並且結點總數= 2^n -1 , n 為層數,則稱為滿二叉樹。

平衡二叉樹

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平衡二叉樹指的是,任意節點的子樹的高度差的絕對值都小於等於1,並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹,常見的符合平衡樹的有,B樹(多路平衡搜索樹)、AVL樹(二叉平衡搜索樹)等。

二叉查找樹

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二叉查找樹(BinarySearchTree)不但二叉樹,同時滿足一定的有序性:節點的左子節點比自己小,節點的右子節點比自己大。

三、二叉樹編碼

1、基礎代碼

節點代碼

class TreeNode {
    private String num ;
    private TreeNode leftNode ;
    private TreeNode rightNode ;
    public TreeNode(String num) {
        this.num = num;
    }
    @Override
    public String toString() {
        return "TreeNode{num=" + num +'}';
    }
}

樹結構代碼

class BinaryTree01 {
    private TreeNode root ;
}

2、遍歷與查找

前序遍歷查找

先處理當前結點的數據,再依次遞歸遍歷左子樹和右子樹;

public void prevTraverse() {
    // 輸出父結點
    System.out.println(this);
    // 向左子樹遞歸前序遍歷
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.prevTraverse();
    }
    // 向右子樹遞歸前序遍歷
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.prevTraverse();
    }
}
public TreeNode prevSearch(String num) {
    //比較當前結點
    if(this.num.equals(num)) {
        return this ;
    }
    // 遞歸遍歷左子樹查找
    TreeNode findNode = null;
    if(this.leftNode != null) {
        findNode = this.leftNode.prevSearch(num);
    }
    // 左子樹遍歷命中
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 遞歸遍歷右子樹查找
    if(this.rightNode != null) {
        findNode = this.rightNode.prevSearch(num);
    }
    return findNode ;
}

中序遍歷查找

先遞歸遍歷左子樹,再處理父節點,再遞歸遍歷右子樹;

public void midTraverse() {
    // 向左子樹遞歸中序遍歷
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.midTraverse();
    }
    // 輸出父結點
    System.out.println(this);
    // 向右子樹遞歸中序遍歷
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.midTraverse();
    }
}
public TreeNode midSearch(String num) {
    // 遞歸遍歷左子樹查找
    TreeNode findNode = null;
    if(this.leftNode != null) {
        findNode = this.leftNode.midSearch(num);
    }
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 比較當前結點
    if(this.num.equals(num)) {
        return this ;
    }
    // 遞歸遍歷右子樹查找
    if(this.rightNode != null) {
        findNode = this.rightNode.midSearch(num);
    }
    return findNode ;
}

後序遍歷查找

先遞歸遍歷左子樹,再遞歸遍歷右子樹,最後處理父節點;

public void lastTraverse() {
    // 向左子樹遞歸後序遍歷
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.lastTraverse();
    }
    // 向右子樹遞歸後序遍歷
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.lastTraverse();
    }
    // 輸出父結點
    System.out.println(this);
}
public TreeNode lastSearch(String num) {
    // 遞歸遍歷左子樹查找
    TreeNode findNode = null;
    if(this.leftNode != null) {
        findNode = this.leftNode.lastSearch(num);
    }
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 遞歸遍歷右子樹查找
    if(this.rightNode != null) {
        findNode = this.rightNode.lastSearch(num);
    }
    if(findNode != null) {
        return findNode ;
    }
    // 比較當前結點
    if(this.num.equals(num)) {
        return this ;
    }
    return null ;
}

3、刪除節點

如果當前刪除的節點是葉子節點,則可以直接刪除該節點;如果刪除的節點是非葉子節點,則刪除該節點樹。

public void deleteNode(String num) {
    // 判斷左節點是否刪除
    if(this.leftNode != null && this.leftNode.num.equals(num)) {
        this.leftNode = null ;
        return ;
    }
    // 判斷右節點是否刪除
    if(this.rightNode != null && this.rightNode.num.equals(num)) {
        this.rightNode = null;
        return ;
    }
    // 向左子樹遍歷進行遞歸刪除
    if(this.leftNode != null) {
        this.leftNode.deleteNode(num);
    }
    // 向右子樹遍歷進行遞歸刪除
    if(this.rightNode != null) {
        this.rightNode.deleteNode(num);
    }
}

四、多叉樹

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多叉樹是指一個父節點可以有多個子節點,但是一個子節點依舊遵循一個父節點定律,通常情況下,二叉樹的實際應用高度太高,可以通過多叉樹來簡化對數據關係的描述。

例如:Linux文件系統,組織架構關係,角色菜單權限管理系統等,通常都基於多叉樹來描述。

五、源代碼地址

GitHub·地址
https://github.com/cicadasmile/model-arithmetic-parent
GitEE·地址
https://gitee.com/cicadasmile/model-arithmetic-parent

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