描述
給定長度為N的A數組，長度為K的B數組
你可以從A數組裡取K個數
規則如下：
- 每個Ai只能被取出一次
- i==1ori==N 可以直接取出Ai
- 2≤i≤N−1 若Ai−1 或者 Ai+1 已經取出，則可以取出Ai
- 要取出正好K個數
即每次可以從A數組的最左邊或者最右邊取走一個數，取走的數從數組中移除
將取出的Ai按取出的順序 組成C數組
求B與C的內積最大值
B與C內積為∑i=0K−1Bi×Ci
解釋1：
A= [1,4,3,2,5]
B=[1,2,3,4]
K=4
取出A0 ,C=[1]
取出A4 C=[1,5]
取出A1 C=[1,5,4]
取出A2 C=[1,5,4,3]
B·C=11+25+34+43=35
這只是C的一種可行方案，可能不是最優方案
解釋2
A=[1,2,3,4]
不能直接取出A1 因為A0和A2都沒有取出
1≤K≤N≤2000
1≤Ai,Bi≤100000
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樣例
[2,3,5,1]
[2,1]
取出A0,A1算法DP
- DP方程 dpijdpij表示從左邊取了i個數，從右邊取了j個數的最大內積
- DP方程轉移
即判斷上一次從左邊取還是從右邊取數哪個內積更大
- DP邊界條件 dp00=0dp00=0 兩邊都沒取數 內積為0
- 答案 ans=max(ans,dpiK−i)ans=max(ans,dpiK−i) 即枚舉左邊取了多少個數，答案取dp數組最大值
複雜度分析
- 時間複雜度 n是A數組長度 K是B數組長度 左右兩邊取數均不超過K個 所以狀態量O(K2)O(K2) 轉移 O(1)O(1) 所以總時間複雜度O(K2)O(K2)
- 空間複雜度 左右兩邊取數均不超過K個 所以狀態量O(K2)O(K2) 所以總空間複雜度O(K2)
public class Solution {
/**
* @param A: the A array
* @param B: the B array
* @return: return the maxium inner product of B and C
*/
public long getMaxInnerProduct(int[] A, int[] B) {
// write your code here
//A數組長度
int n = A.length;
//B數組長度
int K = B.length;
//初始化dp數組
//dp[i][j]表示從左邊取了i個數，從右邊取了j個數的最大內積
long [][]dp = new long [K + 1][K + 1];
//枚舉dp[i][j]
for(int i = 0; i <= K; i++) {
for(int j = 0; j <= K; j++) {
//從左邊和右邊取數總數不超過K個
if(i + j > K) {
break;
}
if(i + j > n) {
break;
}
//dp數組邊界條件，從左右都不取數的時候，dp[0][0]=0
if(i == 0 && j == 0) {
dp[i][j] = 0;
continue;
}
//從左邊取的i 更新dp[i][j]
if(i != 0) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j] + (long)A[i - 1] * (long)B[i + j - 1]);
}
//從右邊取的j，更新dp[i][j]
if(j != 0) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1] + (long)A[n - j] * (long)B[i + j - 1]);
}
}
}
//枚舉從左邊取了多少，找最大的內積
long ans = 0;
for(int i = 0; i <= K; i++) {
ans = Math.max(ans, dp[i][K - i]);
}
return ans;
}
}